Sujet zéro, 2024

Dans un examen, une épreuve notée sur dix points est constituée de deux exercices : le premier est noté sur deux points, le second sur huit points.

Partie I

Le premier exercice est constitué de deux questions Q1 et Q2. Chaque question est notée sur un point. Une réponse correcte rapporte un point ; une réponse incorrecte, incomplète ou une absence de réponse rapporte zéro point.

On considère que :

• un candidat pris au hasard a une probabilité 0,8 de répondre correctement à la question Q1 ;
  
• si le candidat répond correctement à Q1, il a une probabilité 0,6 de répondre correctement à Q2 ; s’il ne répond pas correctement à Q1, il a une probabilité 0,1 de répondre correctement à Q2.
  

On prend un candidat au hasard et on note :

• \(\text A\) l’événement : « Le candidat répond correctement à la question Q1 » ;
  
• \(\text B\) l’événement : « le candidat répond correctement à la question Q2 ».
  

On note  \(\overline{\text A}\) et  \(\overline{\text B}\) les événements contraires de  \(\text A\) et de \(\text B\) .

1. Recopier et compléter les pointillés de l’arbre pondéré ci-dessous.

2. Calculer la probabilité que le candidat réponde correctement aux deux questions Q1 et Q2.

3. Calculer la probabilité que le candidat réponde correctement à la question Q2.

On note :

• \(X_1\)  la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à la question Q1;
  
• \(X_2\)  la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à la question Q2 ;
  
• \(X\)  la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à l’exercice, c’est-à-dire  \(X=X_1+X_2\) .
  

4. Déterminer l’espérance de  \(X_1\) et de \(X_2\) . En déduire l’espérance de \(X\) . Donner une interprétation de l’espérance de  \(X\) dans le contexte de l’exercice.

5. On souhaite déterminer la variance de \(X\) .
    a. Déterminer \(P(X=0)\) et  \(P(X=2)\) . En déduire  \(P(X=1)\) .
    b. Montrer que la variance de  \(X\) vaut 0,57.
    c. A-t-on  \(V(X)=V(X_1)+V(X_2)\) ? Est-ce surprenant ?

Partie II

Le second exercice est constitué de huit questions indépendantes. Chaque question est notée sur un point. Une réponse correcte rapporte un point ; une réponse incorrecte et une absence de réponse rapporte zéro point.

Les huit questions sont de même difficulté : pour chacune des questions, un candidat a une probabilité  \(\dfrac{3}{4}\) de répondre correctement, indépendamment des autres questions.

On note  \(Y\) la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note au sedonc exercice, c’est-à-dire le nombre de bonnes réponses.

1. Justifier que  \(Y\) suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Donner la valeur exacte de \(P(Y=8)\) .

3. Donner l’espérance et la variance de  \(Y\) .

Partie III

On suppose que les deux variables aléatoires  \(X\) et  \(Y\) sont indépendantes. On note la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note totale à l’examen : \(Z=X+Y\) .

1. Calculer l’espérance et la variance de \(Z\) .

2. Soit  \(n\) un nombre entier strictement positif.
Pour \(i\) entier variant de 1 à \(n\) , on note  \(Z_i\) la variable aléatoire qui, à un échantillon de  \(n\) élèves, associe la note de l’élève numéro  \(i\) à l’examen.
On admet que les variables aléatoires  \(Z_1\) ,  \(Z_2\) , ...,  \(Z_n\) sont identiques à  \(Z\) et indépendantes.
On note  \(M_n\) la variable aléatoire qui, à un échantillon de  `n` élèves, associe la moyenne de leurs  \(n\) notes, c’est-à-dire :  \(M_n=\dfrac{Z_1+Z_2+\ldots + Z_n}{n}\) .
    a. Quelle est l’espérance de  \(M_n\) ?
    b. Quelles sont les valeurs de  \(n\) telles que l’écart type de  \(M_n\) soit inférieur ou égal à 0,5 ?
    c. Pour les valeurs trouvées en b., montrer que la probabilité que  \(6,3 \leqslant M_n \leqslant 8,3\) est supérieure ou égale à 0,75.